Soal: Wates Meja
Martingale $10 ing meja $500. Sepira kerep ambruk, pira kapitunane yen ambruk, lan apa ngundhakake wates mbantu?
Enem kekalahan berturut-turut ngambrukake: 1,8% saben siklus, kira-kira 60% saka sesi 100 puteran. Ambruke regane $630. Ngundhakake wates dadi $5.000 nggawe ambruke luwih arang (0,25% saben siklus) lan luwih gedhe ($5.110). Ekspektasi kapitunan saben dolar sing dipasang 2,70% ing wates apa wae.
Soale
Sawijining pemain masang $10 ing abangtotohanAbangTotohan 1:1 ing 18 angka abang. Basa Prancis: rouge.Waca jangkep → lan nggandakake totohan sawise saben kalah, bali menyang wiwitan sawise menang. Totohan maksimum meja $500. (a) Pira kekalahan berturut-turut sing ngambrukake progresistrategiProgresiAturan apa wae sing ngowahi gunggung totohan adhedhasar asil sadurunge. Progresi negatif ngunggahake sawise kalah, sing positif sawise menang.Waca jangkep →? (b) Pira probabilitasematematikaProbabilitasKemungkinan sawijining asil, saka 0 nganti 1 utawa 0% nganti 100%. Siji angka: 1/37 = 2,70%.Waca jangkep → saben siklus? (c) Pira sing ilang nalika ambruk? (d) Kepriye wates $5.000 ngowahi wangsulane? (e) Apa ana wates sing nggawe sistem iki bathi?
Pamecahan (a)–(c)
Gunggung totohan: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Sing kapitu bakal 640 > 500, mula enem kekalahan ngambrukake. (b) p(kalah) = 19/37 ing abang; (19/37)⁶ = 0,0183, kira-kira 1,8% saben siklus. Siji siklus rata-rata kira-kira rong puteran, mula sesi 100 puteran duwe kurang luwih 50 siklus lan p(paling ora sepisan ambruk) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, yaiku 63 unitdhuwitUnitGunggung totohan dhasar sing dienggo sistem utawa pemain. Progresi diterangake nganggo unit supaya bisa ditrapake ing meja apa wae.Waca jangkep → dhasar, dibandhingake karo $10 sing arep dimenangake siklus kuwi.
Pamecahan (d)
Ing $5.000: totohan nganti 2.560 diidini; totohan kaping sepuluh, 5.120, ditolak. Sanga kekalahan ngambrukake: (19/37)⁹ ≈ 0,25% saben siklus, kira-kira 11% saka sesi 100 puteran. Kapitunan nalika ambruk: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Pemain wis tuku bilai sing luwih arang kanthi rega bilai sing luwih gedhe. Ing akeh sesi ekspektasi regane ambruk yaiku p × kapitunan ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 saben siklus ing wates $500 lan 0,0025 × 5.110 = $12,8 ing $5.000; loro-lorone cedhak nanging ora padha, lan saben-saben iku ekspektasi kapitunanmatematikaEkspektasi kapitunanNilai ekspektasi dikalikake gunggung dhuwit sing dipasang; rata-rata jumlah sing ilang sajrone siji sesi utawa sawijining wektu.Waca jangkep → siklus ditambah $10 sing diolehake siklus-siklus sing menang.
Pamecahan (e)
Ora. Ekspektasi kapitunan saben siklus = (ekspektasi total gunggung totohan ing siklus) / 37, ing wates apa wae, amarga saben totohan −1/37 saka regane dhewe. Wates mung nemtokake kepriye kapitunan kuwi kabagi antarane akeh kamenangan cilik lan sawetara kapitunan gedhe. Tanpa wates lan kanthi modaldhuwitModal (bankroll)Gunggung dhuwit sing disisihake kanggo main. Ngatur modal tegese mutusake pira saka modal kuwi sing diresikoake saben totohan lan saben sesi.Waca jangkep → tanpa wates progresi iki bakal “mlaku”, tegese ora tau ambruk, nanging uga bakal masang jumlah tanpa wates kanthi ekspektasi kapitunan 2,70% saka jumlah tanpa wates kuwi. Sing ngalangi MartingalestrategiMartingaleProgresi sing nggandakake totohan sawise saben kalah. Delengen bageyan Strategi kanggo apa sing ditindakake lan sing ora ditindakake.Waca jangkep → supaya ora mempan dudu wates mejamejaWates mejaTotohan minimum lan maksimum sing diidini. Maksimum iku sing mandhegake progresi nggandakake.Waca jangkep →. Sing ngalangi yaiku etungan.
Rong Meja Tenan
Conto saka Thorp yaiku meja $1 kanthi maksimum $1.000, papan pemain ngarep-arep menang $30 kanggo nedha bengi sadolar mbaka sadolar. Totohan 1, 2, 4 … 512 ngidini sepuluh totohan, mula sepuluh kekalahan berturut-turut ngambrukake progresi: sepisan saka 785 siklus ing rodha Eropa (sepisan saka 613 ing rodha Amerika), kanthi rega $1.023. Telung puluh siklus kabeh kasil 96,2% saka wektu. Sing 3,8% liyane kelangan kira-kira $1.000, lan rata-rata asil wengi kuwi −$9,17, persis 1/37 saka $339 sing rata-rata dipasang telung puluh siklus kuwi. Meja $5 kanthi maksimum $2.000 ora beda: totohan nganti $1.280 ngidini sanga totohan, lan ambruke teka sepisan saka 403 siklus ing rodha Eropa (sepisan saka 323 ing rodha Amerika) lan regane $2.555.
Pemain Sugih
Wenehana progresi iki modal sing jero tinimbang wates sing endhek: 1.000 unit, dhasar siji unit lan 1.000 puteran ing abang, bali menyang siji unit saben-saben totohan dobel sabanjure luwih gedhe tinimbang sing isih ana. Kita nyimulasekake sayuta wengi kaya mangkono. Ing rodha Eropa 52% rampung kanthi bathi, 21% kelangan kabeh, lan rata-rata asile −124 unit. Sanajan ing dolanan tanpa nolrodhaNolSiji kanthong ijo sing ora dicakup totohan 1:1, lusin utawa kolom apa wae; sumbere kaluwihan kasino. Uga: nol siji, 0.Waca jangkep →, ing ngendi saben totohan adil, mung kira-kira 60% sing bakal rampung kanthi bathi. Wengi sing lumrah yaiku kamenangan cilik; rata-ratane dibayar dening wengi-wengi sing rampung ing nol.
Piwulange
Kasino nemtokake wates kanggo mbatesi variansmatematikaVariansUkuran sepira ambane asil nyebar ing sakubenge nilai ekspektasi. Dhuwur kanggo straight up, endhek kanggo totohan 1:1.Waca jangkep →-e dhewe, dudu kanggo ngalahake sistem. Ngalahake Martingale iku akibat sampingan sing disenengi, lan etungane bakal ngalahake sistem kuwi apa wae. Pemain sing ngira wates iku masalahe wis nemokake jurang lan nyana kuwi lerenge.
Rumus
Pitakonan
Modal gedhe ngidini panjenengan tahan nganti wates sing luwih dhuwur, ing ngendi ambruke luwih arang lan luwih gedhe. Ekspektasi kapitunan saben dolar ora owah.
Totohan 10, 30, 70, 150, 310: wates $500 kesenggol sawise limang kekalahan, lan ambruke regane $570. Padha 2,70%.
Supaya siji pemain ora bisa masang luwih akeh tinimbang sing bisa dibayar cadhangane kasino kanthi tentrem. Ngatur varians.
Dolanan karo Matematika
Coba garap dhewe dhisik. Saben pangrampungan dilempit; bukak yen panjenengan wis siyap.
Sawijining MartingalestrategiMartingaleProgresi sing nggandakake totohan sawise saben kalah. Delengen bageyan Strategi kanggo apa sing ditindakake lan sing ora ditindakake.Waca jangkep → wiwit saka $100 ing abangtotohanAbangTotohan 1:1 ing 18 angka abang. Basa Prancis: rouge.Waca jangkep → lan mung ngidini paling akeh n totohan saben siklus: sawise n kekalahan berturut-turut mandheg lan wiwit maneh. Tulisen asil rata-rata siji siklus minangka rumus ing n, lan etungen kanggo 5, 6 lan 7 totohan ing rodha Eropa.
Tampilake pangrampungane
Wangsulan Rata-ratane 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 kanggo 5 totohan, −$17,35 kanggo 6 lan −$20,52 kanggo 7. Ngidini luwih akeh totohan nggawe siklus rata-rata luwih elek, ora luwih apik.
Siklus menang $100 kajaba kabeh n totohan kalah, sing kedadeyan kanthi probabilitas qⁿ, q = 19/37. Yen kabeh kalah, gunggung totohan 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ gunggunge 100 × (2ⁿ − 1). Dadi rata-ratane 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Ing kene 2q = 38/37, rada luwih saka 1, dadi (2q)ⁿ tuwuh bebarengan karo n lan rata-ratane mudhun: n = 5 menehi 1,1426 lan −$14,26; n = 6 menehi 1,1735 lan −$17,35; n = 7 menehi 1,2052 lan −$20,52. Andha sing luwih dawa luwih jarang kalah, ing 3,6%, 1,8% lan 0,9% siklus, nanging saben kekalahan kaping pindho luwih gedhe, lan luwih akeh dhuwit sing liwat meja saben siklus, kanthi 2,70% saka saben totohan.
Ing rodha Amerika 2q = 40/38 lan angkane −$29,24, −$36,04 lan −$43,20 (Taylor, 2021). Ing dolanan tanpa nolrodhaNolSiji kanthong ijo sing ora dicakup totohan 1:1, lusin utawa kolom apa wae; sumbere kaluwihan kasino. Uga: nol siji, 0.Waca jangkep → 2q = 1, lan saben siklus rata-ratane pas nol sepira dawane andhane.
“Martingale gedhe” nggandakake gunggung totohan sawise kalah lan nambahi siji unitdhuwitUnitGunggung totohan dhasar sing dienggo sistem utawa pemain. Progresi diterangake nganggo unit supaya bisa ditrapake ing meja apa wae.Waca jangkep →, dadi gunggung totohane 1, 3, 7, 15, 31 … Pira bathi panjenengan yen kamenangan kapisan teka ing totohan kaping 1, 2, 3 utawa k? Ing unit $10 lan maksimum $500, sepira kerepe siklus pedhot, lan pira regane siji siklus rata-rata?
Tampilake pangrampungane
Wangsulan Kamenangan ing totohan kaping k ninggalake bathi k unit: +1, +2, +3 lan sateruse. Ing $10 lan $500 siklus pedhot sawise limang kekalahan, 3,57% siklus, kanggo −$570. Rata-rata siji siklus kelangan $2,32 saka $85,73 sing dipasang: 2,70%.
Gunggung totohan kaping k yaiku 2ᵏ − 1 unit: 1, 3, 7, 15, 31. k − 1 gunggung totohan kapisan gunggunge 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Kamenangan ing totohan kaping k mbayar 2ᵏ − 1, dadi siklus rampung (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unit bathi: siji unit tambahan kanggo saben kekalahan sadurunge kamenangan.
Ing $10 saben unit gunggung totohane $10, $30, $70, $150 lan $310; sabanjure, $630, ngluwihi maksimum $500. Limang kekalahan berturut-turut, (19/37)⁵ = 3,57%, regane 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Rata-rata: kamenangan ngasilake $10 × k kanthi probabilitas (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 kanggo k = 1 nganti 5, lan pedhote njupuk $570 kanthi probabilitas 3,57%; bebarengan −$2,32. Dhuwit sing dipasang rata-rata $85,73 saben siklus, lan 2,32/85,73 = 2,70%. Martingale biasa ing meja sing padha pedhot sawise nem kekalahan, 1,83% siklus, kanggo −$630, lan kelangan $1,74 saka $64,20 sing dipasang: 2,70% maneh.
Sawijining pemain ngrancang Martingale ing abang kanthi totohan kapisan $1 ing meja sing watese $1.000, dadi sepuluh totohan bisa: $1, $2, $4 lan sateruse nganti $512. Sepira kerepe siklus kalah kabeh sepuluh, pira suwene rata-rata nganti kedadeyan, lan sepira kerepe sewengi 200 totohan rampung kaya ngono?
Tampilake pangrampungane
Wangsulan Siklus kalah kabeh sepuluh kira-kira sepisan saka 784, regane $1.023. Iku rata-rata kira-kira 1.600 totohan, lan sewengi 200 totohan nabrak tembok kira-kira 11% wektu. Siklus isih kelangan rata-rata $0,31 saka $11,31 sing dipasang: 2,70%.
Totohan ing abang kalah kanthi probabilitas 19/37, nol kalebu. Sepuluh berturut-turut: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, kira-kira 1 saka 784. Gunggung totohan 1 + 2 + 4 + … + 512 gunggunge $1.023.
Siji siklus butuh rata-rata 2,05 totohan, dadi 784 siklus butuh kira-kira 1.600 totohan. Yen dietung puteran saben puteran, runtutan sepuluh kekalahan metu ing endi wae ing 200 totohan 11,3% wektu.
Ing antarane bilai pemain menang $1 saben siklus: kira-kira $783 sadurunge sing elek, banjur −$1.023, kira-kira −$240 sajrone kabeh wektu kuwi. Saben siklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Dhuwit sing dipasang saben siklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Lan −0,31/11,31 = −2,70%.
Bandhingna karo totohan kapisan $10 ing wates $500, nem totohan: tembok teka sepisan saka 55 siklus, lan sewengi 200 totohan nabrak 84% wektu. Wates sing luwih dhuwur nggawe ambruke luwih jarang lan luwih gedhe, ora luwih murah.
Guyonan sakedhik
Luwih arang lan luwih gedhe, ing saben wates. Pikalihane tetep.
Sumber
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.