Matematika Rolet · Panerapan · 13 menit

Risiko Bangkrut

Q: Apa progresi nyuda risiko bangkrut?

Martingale nyuda risiko kuwi kanggo sesi cendhak lan nambah banget kanggo sesi dawa. Totohan tetep kanthi unit sing luwih gedhe iku cara sing jujur kanggo nyuda risiko.

Probabilitas kelangan kabeh modal panjenengan sadurunge tekan target.

Wangsulan cekak

Kanggo totohan 1:1, risiko bangkrut manut rumus bangkrute penjudi. Kanthi modal $500, totohan $10 lan target $600, panjenengan tekan target kira-kira 57% saka wektu lan bangkrut ing sisane.

rumus

bangkrute penjudi

p (totohan 1:1)

18/37

q/p

1,0556

asil paling kuna

Pascal–Fermat, 1656

Pitakonane

Panjenengan duwe a unitdhuwitUnitGunggung totohan dhasar sing dienggo sistem utawa pemain. Progresi diterangake nganggo unit supaya bisa ditrapake ing meja apa wae.Waca jangkep → modaldhuwitModal (bankroll)Gunggung dhuwit sing disisihake kanggo main. Ngatur modal tegese mutusake pira saka modal kuwi sing diresikoake saben totohan lan saben sesi.Waca jangkep → lan kepengin tekan a + b unit, masang siji unit saben totohan ing totohan 1:1totohanTotohan 1:1Abang/ireng, gasal/genep, gedhe/cilik. 18 angka, mbayar 1:1.Waca jangkep → kanthi probabilitasmatematikaProbabilitasKemungkinan sawijining asil, saka 0 nganti 1 utawa 0% nganti 100%. Siji angka: 1/37 = 2,70%.Waca jangkep → menang p = 18/37 lan probabilitas kalah q = 19/37. Pira probabilitas panjenengan tekan target sadurunge tekan nol? Wangsulane wis dietung dening Pascal, Fermat lan Huygens ing taun 1650-an lan iku salah siji asil paling kuna ing teori probabilitas.

Blaise Pascal: Legenda Rodha Rolet

Rumus Bangkrute Penjudi

P(tekan target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Risiko bangkrutmatematikaRisiko bangkrutProbabilitas kelangan kabeh modal sadurunge tekan target utawa cacahe puteran.Waca jangkep → yaiku siji dikurangi kuwi. Kanthi q/p = 19/18 ≈ 1,0556, rasio iki mundhak sacara eksponensial miturut cacahe unit, mula rumus iki ngukum unit cilik kanthi abot: saya akeh totohan sing dibutuhake kanggo tekan target, saya kerep pajeg 2,70% dibayar ing dalan.

modalunittargettotohan nganti targetp(tekan target)risiko bangkrut

$500$10$60010≈ 57%≈ 43%

$500$50$6002≈ 79%≈ 21%

$500$10$1.00050≈ 6%≈ 94%

$500$100$1.0005≈ 43%≈ 57%

$500$500$1.000148,6%51,4%

$100$10$20010≈ 37%≈ 63%

Totohan 1:1, gunggung totohan tetep, tanpa la partage. Kalkulator Risiko Bangkrut nindakake aritmetikane kanggo angka apa wae.

Carane Maca

Unit sing luwih cilik ngrugekake. Nyoba nggandakake $500 kanthi totohan $10 kasil 6% saka wektu; kanthi siji totohan $500 kasil 48,6% saka wektu. Dolanan wani, totohan sing luwih sethithik lan luwih gedhe, ndhuwurake probabilitas tekan target ing dolanan kanthi ekspektasi negatif, amarga nyuda cacahe kaluwihan ditrapake. Dolanan kaya ngono uga ndhuwurake variansmatematikaVariansUkuran sepira ambane asil nyebar ing sakubenge nilai ekspektasi. Dhuwur kanggo straight up, endhek kanggo totohan 1:1.Waca jangkep → apa sing kelakon marang panjenengan, lan mungkasi bengi kanthi cepet. Teorema iki diarani “dolanan wani iku optimal” lan dibuktekake dening Dubins lan Savage ing taun 1965.

Probabilitas ngowahi $500 dadi $1.000 ing abang%

siji totohan $500

48,6%

totohan $100

≈ 43%

totohan $50

≈ 37%

totohan $20

≈ 21%

totohan $10

≈ 6%

totohan $5

≈ 0,5%

024,3048,6%

Saya akeh totohan sing dibutuhake, saya kerep kaluwihan dibayar. Dolanan sing wedi-wedi iku larang.

Asal-Usule Soal Iki

Pitakonan iki luwih tuwa tinimbang rolet. Ing taun 1656 Pascal menehi teka-teki marang Fermat: pemain loro nguncalake telung dadu, saben-saben diwiwiti karo 12 jeton; uncalan 11 mindhah siji jeton menyang sisih siji, uncalan 14 menyang sisih liyane. Loro-lorone bisa ngrampungake, lan Huygens, sing krungu bab iki liwat layang saka ahli matematika Pierre de Carcavi, nyetak soal iki ing taun 1657 minangka soal kaping lima ing buku kapisan bab probabilitas, kanthi wangsulan tanpa bukti. Sewelas bisa metu kanthi 27 cara lan patbelas mung 15, mula saben jeton pindhah menyang sisihe pemain kapisan 9 kaping saka 14, lan rumus ing ndhuwur, kanthi 12 jeton saben pemain, ndadekake pemain kapisan kira-kira 1.157 kaping luwih mungkin menang kabeh tinimbang kalah kabeh. Kaluwihan 2,70% luwih cilik adoh, nanging rumus sing padha nuduhake apa sing ditindakake kaluwihan kuwi sajrone akeh totohan.

Ing teka-tekine Pascal, saben uncalan telung dadu mindhah siji jeton ing antarane para pemain.

Totohan Wani sing Nyata

Ing April 2004 Ashley Revell, wong enom saka Inggris, ngedol meh kabeh barang duweke, kalebu sandhangane, lan nggawa $135.300 menyang Plaza ing Las Vegas. Sawise sawetara totohan cilik, dheweke masang kabeh dhuwit kuwi ing abangtotohanAbangTotohan 1:1 ing 18 angka abang. Basa Prancis: rouge.Waca jangkep →, sepisan. BalpirantiBalBal cilik sing dilempar ing dalane kanthi arah kosok balen karo rotor. Bal modern digawe saka ivorine utawa Teflon, 18–21 mm.Waca jangkep → tiba ing abang 7 lan dheweke metu nggawa $270.600. Ing rodha nolrodhaNolSiji kanthong ijo sing ora dicakup totohan 1:1, lusin utawa kolom apa wae; sumbere kaluwihan kasino. Uga: nol siji, 0.Waca jangkep → dobel, siji puteran kuwi probabilitase 47,37% lan rata-rata ngragadi $7.121, yaiku kaluwihan 5,26% ing siji totohan. Yen dibagi dadi totohan $10, target sing padha meh ora ana pangarep-arep. Dolanan wani ora ndadekake totohane apik; mung ndadekake totohane sacendhak-cendhake.

Kabeh modal Ashley Revell dipasang ing siji puteran rodha nol dobel.

Risiko Bangkrut tanpa Target

Yen panjenengan mung main nganti bangkrut utawa mandheg sawise N puteran, pitakonane dadi “pira probabilitas modalku tekan nol sajrone N puteran?”. Ora ana rumus tertutup kanggo N umum, nanging simulator ing situs iki ngitung: modal $500 kanthi $10 ing abang meh ora tau bangkrut sajrone 100 puteran (kurang saka 1%), bangkrut kira-kira 9% saka wektu sajrone 500 puteran, lan kira-kira 95% sajrone 5.000. Tanpa aturan mandheg, probabilitase nyedhaki 100%, lan kuwi versi jangka dawa saka kaluwihan kasinomatematikaKaluwihan kasino (house edge)Bageyan saka saben gunggung totohan sing rata-rata dijaga kasino: 2,70% ing rolet Eropa.Waca jangkep →.

Sepuluh sesi, modal $500, $25 ing abang, 200 puteranasil dibandhingake karo wiwitan

1.000 sesi × 500 puteran · wungu p10/p25/p75/p90, biru enom median, 81 sampel samar · obahna kursor ing ndhuwur grafik kanggo ndeleng kuantil ing siji puteran

p10 −$500
p25 −$500
median −$500
p75 +$0
p90 +$350

1.000 sesi × 500 puteran · sumbu y dipotong ing persentil kaping 1 nganti kaping 99 (ekstrem −$500 nganti +$1.500) · 500 puteran · dhasar $25 · totohan 1:1

Garis sing ndemok dhasar wis bangkrut. Kanthi unit sing luwih cilik, garis kuwi bakal tahan luwih suwe lan rampung ing papan sing padha.

Konvergensi Jangka Dawa: Hukum Angka Gedhe ing Rolet

Sepira Suwe, lan Sepira Adoh Bathine

Rong asil klasik liyane mangsuli pitakonan sing tenan ditakokake pemain. Tanpa target, totohan 1:1 sing tetep rata-rata tahan 37 puteran kanggo saben unit modal ing rodha Eropa lan 19 ing rodha Amerika, amarga saben puteran rata-rata njupuk 1/37 unit (1/19 ing rodha Amerika): 100 unit rata-rata tahan 3.700 puteran, sanajan separo saka sesi kaya ngono wis rampung sajrone 3.134 (delengen Dawa lan Ragad Sesi). Lan sepira wae gedhene modal, probabilitas ing rodha Eropa tau bathi k unit yaiku (18/19)ᵏ. Kuwi 95% kanggo siji unit lan 58% kanggo sepuluh, nanging ora ana modal, sepira wae jerone, sing menehi probabilitas separo-separo kanggo tau bathi 13 unit; ing rodha Amerika probabilitase (9/10)ᵏ lan mudhun ing sangisore separo ing 7 unit.

unit bathi, ing titik apa waeEropaAmerika

194,7%90,0%

576,3%59,0%

1058,2%34,9%

1349,5%25,4%

2033,9%12,2%

506,7%0,5%

1000,45%0,003%

Totohan 1:1, gunggung totohan tetep, modal cukup gedhe nganti ora tau entek. Probabilitase (18/19)ᵏ ing rodha nol siji lan (9/10)ᵏ ing rodha nol dobel.

Dawane Sesi lan Ragade Rodha lan Aturan Rolet Amerika

Modal kanggo Probabilitas Separo-Separo

Walik pitakonane: pira sing kudu digawa supaya duwe probabilitas paling ora separo-separo kanggo menang jumlah tartamtu sadurunge kelangan kabeh? Kanggo kamenangan cilik, ora akeh. Kanggo sing luwih gedhe, modal sing dibutuhake munggah banget, lan sawise sawijining titik ora ana modal sing cukup, amarga modal tanpa wates wae menehi probabilitas kurang saka separo-separo kanggo tau bathi semono. Taylor (2021) ngandhakake kanthi cara liya: ing rodha Amerika, supaya duwe probabilitas separo-separo tekan 100 unit, panjenengan kudu diwiwiti karo 94, ngetohake 94 kanggo menang 6. Ing rodha Eropa panjenengan butuh 88.

kanggo menangEropaAmerika

1 unit22

2 unit33

3 unit45

4 unit68

5 unit712

6 unit921

7 unit12ora ana modal sing cukup

8 unit15ora ana modal sing cukup

10 unit24ora ana modal sing cukup

12 unit46ora ana modal sing cukup

13 unit utawa luwihora ana modal sing cukupora ana modal sing cukup

Modal paling cilik, ing unit, sing menehi probabilitas paling ora separo-separo kanggo menang jumlah kuwi sadurunge kelangan modal, kanthi totohan 1:1 sing tetep. Petungan kita dhewe saka rumus ing ndhuwur.

Piwulang Praktis

Tetepake apa sing arep panjenengan tindakake. Yen tujuane kamenangan tartamtu, masanga gedhe lan sethithik. Yen tujuane bengi sing dawa, masanga cilik lan tampanana yen kaluwihan bakal njupuk 2,70% saka total totohandhuwitTotal totohan (turnover)Gunggung dhuwit sing dipasang sajrone siji sesi utawa sawijining wektu, kalebu dhuwit kamenangan sing dipasang maneh. Uga: handle, action.Waca jangkep → sing gedhe. Yen tujuane loro-lorone, mesthi ana sing kudu dikorbanake, lan biasane kuwi targete.

Rumus

P(target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)

risiko bangkrut = 1 − P(target)

q/p = 19/18 kanggo totohan 1:1

rata-rata puteran nganti bangkrut, tanpa target = 37 × unit

P(tau bathi k unit) = (18/19)ᵏ

Pitakonan

Apa progresi nyuda risiko bangkrut?

MartingalestrategiMartingaleProgresi sing nggandakake totohan sawise saben kalah. Delengen bageyan Strategi kanggo apa sing ditindakake lan sing ora ditindakake.Waca jangkep → nyuda risiko kuwi kanggo sesi cendhak lan nambah banget kanggo sesi dawa. Totohan tetepstrategiTotohan tetep (flat betting)Masang jumlah sing padha saben puteran. Ukuran dhasar sing dibandhingake karo saben progresi.Waca jangkep → kanthi unit sing luwih gedhe iku cara sing jujur kanggo nyuda risiko.

Lha totohan straight up?

Rumus ing ndhuwur kanggo totohan 1:1. Kanggo totohan kanthi varians dhuwur, bangkrut luwih mungkin ing gunggung totohan cilik lan target digayuh kanthi cara sing luwih ora rata; gunakake kalkulator.

Kenapa q/p iku besaran kuncine?

Saben langkah menyang target rada kurang mungkin tinimbang saben langkah menyang bangkrut; rasio kuwi numpuk miturut cacahe langkah.

Dolanan karo Matematika

Coba garap dhewe dhisik. Saben pangrampungan dilempit; bukak yen panjenengan wis siyap.

Panjenengan duwe $100 lan ngersakake $1.000, mung masang ing abangtotohanAbangTotohan 1:1 ing 18 angka abang. Basa Prancis: rouge.Waca jangkep →. Rencana siji: masang $1 saben totohan. Rencana loro: masang kabeh dhuwit sing ana nganti luwih saka $500, banjur mung cukup kanggo tekan $1.000. Rencana endi sing luwih apik, lan sepira bedane?
Tampilake pangrampungane
Wangsulan Rencana loro, adoh banget. Rencana iki tekan $1.000 kira-kira 9,0% wektu, cedhak karo 10% sing adil. Rencana siji kasil kira-kira 7 kaping saka 10²².
Ing dolanan adilmatematikaDolanan adilDolanan sing ora ana pihak sing duwe kaluwihan: saben totohan nilai ekspektasine nol.Waca jangkep → panjenengan bakal tekan $1.000 saka $100 sepisan saka sepuluh apa wae sing ditindakake, amarga nilai rata-rata dhuwit panjenengan tetep $100.
Kaluwihan kasino njupuk 2,70% saka saben totohan, dadi saya sethithik total sing dipasang, saya cedhak karo siji saka sepuluh. Rencana loro mutusake perkara iki mung ing sawetara totohan: $100 dadi $200, $400, $800, banjur $200 wis cukup. Rencana iki kasil kira-kira 9,0% wektu. Rencana siji butuh ewonan totohan nganti lakune rampung, lan kaluwihane, cilik ing saben totohan, nglumpuk dadi bangkrut sing meh mesthi.
Iki asil Dubins–Savage ing wujud sing paling prasaja (Epstein, 2013): ing dolanan sing nguntungake kasino, pasangen sakgedhe sing dibutuhake, sakjarang-jarange.
Panjenengan duwe $500 lan ngersakake $1.000, mandheg sanalika wis kecekel. Panjenengan milih siji jinis totohan lan mbaleni nganti menang sepisan utawa dhuwite entek. Jinis endi sing menehi kasempatan paling apik?
Tampilake pangrampungane
Wangsulan Siji totohan $500 ing abang: 48,6%. Saben rencana sing nyebar dhuwite dadi totohan sing luwih cilik asile luwih elek.
Pilihen saben gunggung totohan supaya siji kamenangan wis cukup: $30 ing straight uptotohanStraight upSiji angka, mbayar 35:1.Waca jangkep → (totohan siji angka) menang $1.050, $60 ing splittotohanSplitRong angka sing jejer, mbayar 17:1.Waca jangkep → (totohan rong angka) menang $1.020, lan sateruse. Banjur etungen probabilitas paling ora siji totohan menang sadurunge dhuwite entek. Nembelas straight up $30 kabeh luput kanthi probabilitas (36/37)¹⁶ = 64,5%, dadi tekan $1.000 35,5% wektu.
Tabel nuduhake saben totohan. Abang paling apik amarga tekan ing siji totohan, dadi kaluwihane dibayar sepisan, ing $500. Six linetotohanSix lineEnem angka ing rong baris sing jejer, mbayar 5:1. Basa Prancis: sixain.Waca jangkep → nomer loro amarga mung butuh telu. Totohan siji lusintotohanLusin1–12, 13–24 utawa 25–36, mbayar 2:1.Waca jangkep → paling elek, kasempatan 12/37; senajan dimainake ing unitdhuwitUnitGunggung totohan dhasar sing dienggo sistem utawa pemain. Progresi diterangake nganggo unit supaya bisa ditrapake ing meja apa wae.Waca jangkep → $250 nganti duwe $1.000 utawa luwih, lusin mung tekan 46,4% wektu.
Bollman (2024) nggawe tabel sing padha kanggo rodha Amerika. Baris lusine ana kaluputan: kudune 12/38 = 31,6%.
totohangunggung totohan × cacahe totohanprobabilitas tekan $1.000
Straight up$30 × 1635,5%
Split$60 × 835,9%
Street$90 × 534,5%
Corner$125 × 436,7%
Six line$166, $166, $16841,2%
Lusin$500 × 132,4%
Abang$500 × 148,6%
Panjenengan masang siji unit ing abang, puteran sawise puteran, kanthi modaldhuwitModal (bankroll)Gunggung dhuwit sing disisihake kanggo main. Ngatur modal tegese mutusake pira saka modal kuwi sing diresikoake saben totohan lan saben sesi.Waca jangkep → sing ora tau entek. Sawise puteran kapisan panjenengan bathi siji unit utawa rugi siji unit. Pira probabilitase panjenengan bakal pas impas maneh?
Tampilake pangrampungane
Wangsulan 36 saka 37, 97,3%. Ing rodha Amerika 36 saka 38, 94,7%.
Yen puteran kapisan menang (18 kaping saka 37), panjenengan bathi siji unit, lan kaluwihan kasino nyeret mudhun saben sesi sing ora ana pungkasane, dadi cepet utawa alon panjenengan liwat impas maneh: iku mesthi. Yen kalah (19 kaping saka 37), panjenengan kudu munggah siji unit, lan probabilitas tau bathi siji unit yaiku 18/19 (delengen tabel ing ndhuwur).
Bebarengan: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Umume probabilitas kuwi 1 dikurangi bedane probabilitas menang lan kalah ing siji puteran: 1 − 1/37 ing rodha Eropa, 1 − 2/38 ing rodha Amerika. Ing dolanan tanpa nolrodhaNolSiji kanthong ijo sing ora dicakup totohan 1:1, lusin utawa kolom apa wae; sumbere kaluwihan kasino. Uga: nol siji, 0.Waca jangkep → bedane ora ana lan probabilitase 1: skore mesthi bali menyang impas. Epstein (2013) menehi aturan umume.
Teka-teki Pascal taun 1656: wong loro nguncalake telung dadu, saben wong wiwit karo 12 tandha. Saben 11 mindhahake siji tandha menyang pemain kapisan, saben 14 mindhahake siji menyang pemain kapindho; uncalan liyane ora dietung. Sepira probabilitase pemain kapisan menang kabeh 24? Lan yen panjenengan malah masang 1 unit ing abang saben puteran nglawan kanca sing dadi bandar, 12 unit saben wong, sepira probabilitase panjenengan menang kabeh 24?
Tampilake pangrampungane
Wangsulan Pemain kapisan menang kira-kira 1.157 kaping saka 1.158. Panjenengan, ing abang, menang kabeh 24 unit mung kira-kira 34% wektu.
Telung dadu nggawe 11 kanthi 27 cara lan 14 kanthi 15 cara, dadi saben tandha sing pindhah tumuju pemain kapisan 27 kaping saka 42, 9 kaping saka 14. Yen saben pihak wiwit saka 12, probabilitas njupuk kabeh yaiku 1/(1 + r¹²), r iku rasio probabilitase pihak liya marang probabilitas panjenengan.
Kanggo pemain kapisan r = 5/9, lan (5/9)¹² ≈ 0,00086, dadi probabilitase kira-kira 0,99914: odds 9¹² banding 5¹², utawa 282.429.536.481 banding 244.140.625, kira-kira 1.157 banding 1. Huygens nyithak angka-angka kuwi persis ing taun 1657.
Ing abang, r = 19/18 amarga nol, lan (19/18)¹² ≈ 1,913: probabilitas panjenengan 1/2,913 ≈ 34,3%. Dhuwit receh bakal menehi 50%. Kaluwihan 2,70% ing saben totohan nglumpuk, liwat akehe totohan sing dibutuhake, dadi bedane 16 poin.

Guyonan sakedhik

$Dolanan wani iku optimal. Uga cepet rampung.$

Dolanan wani iku optimal. Uga cepet rampung.

Sumber

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, edhisi kaping 3, 1968. Bangkrute penjudi, bab XIV.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Carcavi, P. de. Layang marang Huygens, 28 September 1656, bab soal sing diajokake Pascal marang Fermat. Œuvres complètes de Christiaan Huygens, jilid 1, 1888, kaca 492–494.
Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. Bahasan bab ekspektasi sing paling wiwitan dicetak.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. Bab 13, rolet.
Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.” April 2004.
Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.” 12 April 2004.

dipriksa 2026-09-28model: Eropa, nol sijimetodologi ↗sumber ↗